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三角形重心是什么(三角形重心性质的表演——2022年上海中考数学第25题)

时间:2022-11-24 06:36:01作者:大神

三角形重心性质的表演——2022年上海中考数学第25题

三角形重心是什么(三角形重心性质的表演——2022年上海中考数学第25题)

我在教学过程中,最怕遇到这样一类学生,一看到某图,题目条件都没看完,就把辅助线给添加上去了,如果恰好做对了,还会跟我说,这题好简单,某某模型一下子就出来了;如果没做对,便开始尝试各种模型的辅助线添加方法,直到碰到死耗子为止;当然也有可能一直碰不上那只死耗子,便只好耗死自己,徒呼奈何。

那些看起来像某模型,但却不是用该模型的套路的压轴题,便正好是这类学生的克星。

题目

平行四边形ABCD,若P为BC中点,AP交BD于点E,连接CE.

(1)若AE=CE.

①求证:平行四边形ABCD是菱形;

②若AB=5,AE=3,求线段BD的长;

(2)以A为圆心,AE为半径作圆,B为圆心,BE为半径作圆,两圆另一交点记为点F,且CE=√2AE,若F在直线CE上,求AB:BC的值.

三角形重心是什么(三角形重心性质的表演——2022年上海中考数学第25题)

解析:

(1)给出条件AE=CE,则原平行四边形ABCD的形状发生了改变,如下图:

三角形重心是什么(三角形重心性质的表演——2022年上海中考数学第25题)

①连接AC,由AE=CE可知△AEC是等腰三角形,再由平行四边形对角线互相平分可得点O是AC中点,最后由三线合一证明OE⊥BD,即AC⊥BD,现在平行四边形ABCD的对角线互相垂直,因此它是菱形;

②在前面证明了菱形的基础上,观察AB和AE,它们的共同点是均作为直角三角形的斜边,分别是Rt△AOB和Rt△AOE,同时这两个三角形还有一条公共边OA,另一条直角边都在BD上,这令人联想到勾股定理,如下图:

三角形重心是什么(三角形重心性质的表演——2022年上海中考数学第25题)

Rt△AOB中,OA²=AB²-OB²=25-OB²,Rt△AOE中,OA²=AE²-OE²=9-OE²,可得25-OB²=9-OE²,我们整理一下:

OB²-OE²=16

(OB OE)(OB-OE)=16

写到这一步,OB和OE之间有无数量关系呢?

再次审视△ABC,AP是它的中线,BO也是中线,两条中线相交,交点为重心,如果能联想到重心性质,它将每条中线都分成1:2两部分,此题就容易了;

由重心性质可得BE=2OE,于是OB=3OE,上面的等式可变成8OE²=16,解出OE=√2,所以OB=3√2,BD=6√2;

为什么重心可以将每条中线分成1:2两部分呢?我们可以用面积法来证明:

三角形重心是什么(三角形重心性质的表演——2022年上海中考数学第25题)

上图中,△ABC三条中线交于点O,每条中线都将△ABC分成面积相等的两部分,例如△ABE和△ACE面积相等,同样对于△OBC,OE也是它的中线,于是△OBE和△OCE面积相等,可得△AOB和△AOC面积相等,可证明上图中6个小三角形面积全部相等,其中△AOB占1/3,△OBE占1/6,它们等高,所以底的比为2:1,即OA:OE=2:1,剩下的同理可证;

(2)我们先按题目要求作图,如下:

三角形重心是什么(三角形重心性质的表演——2022年上海中考数学第25题)

事实上这两个圆的作用主要是引起对公共弦EF的注意,由于教材中并未给出公共弦的性质,需要简单证明一下;

在圆A中,AE=AF,在圆B中,BE=BF,点A和点B到线段EF两端的距离相等,所以AB是EF的垂直平分线。

前面证明过△ABC的重心是点E,本小题中依然成立,所以CH也是△ABC中线,即点H是AB中点,现在AB和EF互相垂直平分,即四边形AFBE是菱形;

现在我们不再需要那两个圆了,重点利用好这个菱形,如下图:

三角形重心是什么(三角形重心性质的表演——2022年上海中考数学第25题)

在△BCF中,点P是BC边上中点,且PE∥BF,可得PE是△BCF的中位线,不妨设AE=x,则CE=√2x,则EF=√2x,EH=√2/2·x,现在再来看△AEH,显然这是一个等腰直角三角形,求出AH=√2/2·x,于是AB=√2x;

在Rt△BCH中,我们利用勾股定理得到BC²=BH² CH²,其中BH=√2/2·x,CH=3√2/2·x,求出BC=√5x;

最后求出AB:BC=√10/5.

解题反思:

这道几何压轴题还是有一定难度的,理解关键点便在于三角形重心的性质,我们在学习三角形重心的时候,印象最深刻的莫过于它是三条中线的交点,然而这个交点对于每条中线的分割,平时接触少了,便不太记得,尤其在第2小题中,判断点H也是AB中点,所依据的,仍然是“三条中线交于一点”这么浅显的道理。

当然,在讲完这道题之后,会感觉原来这么简单,重心我也知道,为什么在解题时就想不到呢?我们回溯到重心这一节内容上来,教材中关于它的描述是什么?教材习题中可有它的身影?又是如何运用的?为什么平时的作业或考试中,我们不能这样考它?只是因为平时没有这样考,便不会这样想吗?……

为一连串问题下来,想必已经找到部分原因了。初中数学的知识点众多,曾经练习过,也归纳过,但不能变成套路,理解每种模型的本质,知道为什么它会成为模型,至关重要。

还是那句话,不反对解题模型,但它要是学生自己归纳出来的,不能是老师灌输。若是把解题模型看作是武功的招数,那么最高境界应该是“无招胜有招”。

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